Soru 1: Bir kosuya katiliyorsun, ikinci adami solluyorsun.
Hangi siralamada yer alirsin?












Cevap:
Birinci siraya çikarim dediysen tamamen yanildin !
Ikinciyi sollarsan onun yerini alirsin, yani ikinci olursun.



Ayrica ikinci soru için lütfen biraz daha az düsün !!



Soru 2: Sonuncuyu sollarsan hangi siralamaya çikarsin ?











Cevap :
Sondan ikinci dediysen yine yanildin !
Biraz düsünsene! Sonuncuyu nasil sollarsin ?
Sen onun arkasindaysan o sonuncu olamaz degil mi ? Cevabi mümkün
degil !!
Hadi bir daha deniyoruz, not tutma ve hesap makinesi kullanma, hemen
cevap
vermen gerektiğini de unutma !
Ha gayret !!!!

Yukarıdaki resimde kahve taneleri içinde adam var.

*Adamin kafasini 3 saniyede bulursaniz bir dahisiniz demektir.

*Medikal arastirmalara gore eger adamin kafasini 3 saniyede bulursaniz beyininizin sag tarafi diger insanlara gore daha cok gelismis demektir.

*Eger adamin kafasini 1 dakikada bulursaniz beyininizin sag tarafi normal bir insaninki gibi calisiyor demektir.

*Eger 1 ile 3 dakika arasinda bulursan beyininin sag tarafi normalden yavas calisiyor demektir. Bu durumda daha cok protein almaniz gerekir.

*Eger 3 dakikadan daha fazla bir ! surede bulursaniz beyininizin sag tarafi acinacak durumda demektir.

*Asiri derecede yavas tepki veriyorsa lutfen daha cok resim izleyip bu egzersize agirlik verin.

Ayakkabi magazasina gelen müsteri dükkanda dolastiktan sonra bir ayakkabi
begenir. Fiyatinin 35 YTL oldugunu ögrendigi ayakkabiyi satin almak
istedigini söyler ve saticiya 50 YTL para uzatir. Kasasina bakan satici
kasasinda bozuk para olmadigini görür ve yan dükkana gider, bu 50 YTL'yi
bozdurur ve magazasina geri dönüp para üstünü ve ayakkabiyi müsteriye
etslim eder. Aradan 10 dk zaman geçer ve yan dükkan sahibi gelerek
kendisine verdigi 50.-YTL 'nin sahte oldugunu ve parasini iade etmesini
ister. Satici duruma çok üzülür ama ilgili tutari iade eder ve sahte
parayi teslim alir.

Bu durumda ayakkabi saticisi ne kadar zarardadır?

İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR

Tanım : a, b, c,  R ve a  0 olmak üzere; y = ax2 + bx + c biçiminde tanımlanan fonksiyonlara, ikinci dereceden fonksiyonlar denir. x değişkeni R (gerçek sayılar kümesi) den seçilirse, R den R ye bir ikinci derece fonksiyonu elde edilir. Böyle bir fonksiyon; biçimlerinden biri ile gösterilir.

ÖRNEKLER: 1. R den R ye f(x) = 3x2 - 2x + 4 eşitliği ile tanımlanan fonksiyon ikinci dereceden bir fonksiyon olup, a = 3 , b = - 2 ve c = 4 tür. 2. f: RR , f: x9x2 – 2 fonksiyonu ikinci dereceden bir fonksiyon olup, a = 9 , b = 0 ve c = -2 dir.

 İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ
y = ax2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğine (eğrisine), PARABOL denir. Denklemi verilen bir parabolü analitik düzlemde gösterebilmek (çizebilmek) için yapılması gereken işlemleri aşağıdaki gibi sıralayabiliriz. 1. Tepe noktasının koordinatları bulunur. 2. Grafiğin varsa, koordinat eksenlerini kestiği noktalar bulunur. 3. Değişim tablosu düzenlenir. 4. Değişim tablosundan yararlanarak, belirlenen noktalar analitik düzlemde işaretlenir ve grafik çizilir.

TEPE NOKTASININ KOORDİNATLARINI BULMA

 İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin (parabolün) tepe noktasını tanımlamadan önce aşağıdaki örneği inceleyelim. ÖRNEK : y = x2 fonksiyonunun grafiğini çizelim. y = x2 fonksiyonuna ait olan grafik;
 x = -2 için, y = (-2)2 = 4 olduğundan, grafik (-2, 4) noktasından,
x = -1 için, y = (-1)2 = 1 olduğundan, grafik (-1, 1) noktasından, x = 0 için, y = (0)2 = 0 olduğundan, grafik (0, 0) noktasından, x = 1 için, y = 12 = 1 olduğundan, grafik (1, 1) noktasından, x = 2 için, y = 22 = 4 olduğundan, grafik (2, 4) noktasından geçer.

Bulunan bu noktalardan yararlanarak, fonksiyonun değişim tablosunu düzenleyelim. x gerçek sayıları (-) dan sıfıra kadar artan değerler aldığında, y = x2 fonksiyonu (+) dan sıfıra kadar azalır. x sıfırdan (+) a doğru artmaya devam ettiğinde, y = x2 fonksiyonu da sıfırdan (+) a artarak gider. Grafiğin döndüğü nokta, (0, 0) noktasıdır. Bu nokta, y = x2 parabolünün tepe noktası dır. y = x2 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. y = x2 nin değişim tablosunu incelerseniz, x  1 için y = 1 ve x =  2 için y = 4 olduğunu görürsünüz. (-1, 1) ile (1, 1) ve (-2, 4) ile (2, 4) noktaları 0y eksenine göre simetrik noktalardır. O halde, 0y ekseni (x = 0 doğrusu), y = x2 fonksiyonunun grafiğinin, simetri eksenidir. fonksiyonlarının grafikleri aşağıda çizilmiştir, inceleyiniz. y = ax2 parabolünde; • a > 0 ise, parabolün kolları yukarı doğru, • a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru, • a mutlak değerce büyüdükçe, parabolün kolları y eksenine yaklaşır. • a mutlak değerce küçüldükçe, parabolün kolları y ekseninden uzaklaşır. • x = 0 doğrusu (0y ekseni), parabolün simetri eksenidir. Şimdi de, y = ax2 + bx + c fonksiyonuna ait grafiğin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım. y = ax2 + bx + c fonksiyonu, (Bu eşitliği daha önceki bölümlerde göstermiştik) biçiminde yazılabilir. Bu eşitlikte, dır. a > 0 ise, ifadesi en küçük sıfır değerini alabilir. Buna göre; değerine, fonksiyonun görüntü kümesinin en küçük değeri ya da minimumu denir. a < 0 ise, ifadesi en büyük, sıfır değerini alabilir. Buna göre; değerine, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri ya da maksimumu denir. (I) eşitliğinde, alınırsa, bu ifade y = a(x – r)2 + k biçimine dönüşür. O halde; y = ax2 + bx +c fonksiyonunun grafiğinin apsisi ; r = , ordinatı, olan noktasına, parabolün tepe noktası denir. y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası;

OLASILIK

OLASILIĞIN TANIMI:
Olasılık (bir olayın olasılığı) ilk yaklaşımda, herhangi bir olay için elverişli hallerin bütün olanaklı hallere oranıdır. Örneğin 1. İsabet olasılığı: Ateşli bir silahla (tüfek, tank topu, top) atış yapıldığında, belirli bir alanda belli sayıda isabet sağlama olasılığıdır. 2. Tahrip olasılığı: Nükleer atışta olduğu gibi,ancak bir merminin kullanıldığı tekli atışlarda, bir hedefi, önceden belirlenen tahribe az çok eşit oranda tahrip etme olasılığıdır.

OLASILIĞIN TARİHÇESİ VE GELİŞİM SÜRECİ:
Olasılıklar hesabını kökeni,rastlantı oyunlarının oynanmasına ve oyuncuların, bütün olasılıklar bir bir göz önüne alarak oyunlarının şanslarını hesaplama isteklerine dayanır. Böylece, G. Cardano nun (1501-1576) ölümünden sonra yayımlanmış De Ludo Alae (rastlantı oyunu üzerine) adlı kitabında, bir parti oyunda verilen bir düzeni gerçekleştiren (örneğin: 3 zar atarak 10 benek elde etmenin 27 biçimi vardır.) sonuç sayısıyla, uzun bir dizide bu düzenin ortaya çıkış yinelenimi arasında ilişki kurar. Rastlantının, 16. yüzyılda beliren ve 17. yüzyılda doğruluğu ortaya çıkan nicel ele alınış biçimi, dünyaya karşı yeni bir davranış ifade eder. Olasılıklar hesabının ilk tohumlar, Pascal ve Fermat arasındaki mektuplaşmada görülmüştür.

 Bu, Şovalye Merenin Pascala önerilen ve onları araştırmalarının kökeninde bulunan oyun problemidir. Oyunculardan birinin kazanmasından önce yarıda kesilen bir rastlantı oyununda, birçok partide konmuş parayı paylaşmak, yani her bir oyuncunun gelecek partilerde rastlantıda bekleyebileceğini hesaplamak söz konusudur. Pascalın, özellikle de Fermatın çözümü, devşirim çözümlemesiyle de ilgiliydi. Bu çözümlemenin ilk avadanlıkları hazırlanmak üzereydi. Pascal için kurami ancak deneyin çözebildiği problemleri egemenlik altına almaya varır: Böylece, ispatların kesinliğini rastlantının belirsizliğine birleştirerek ve nesneleri zıt görünüş halinde uzlaştırarak, kuram, adını ikisinden alıp, haklı olarak şu şaşırtıcı adı benimseyebilir: Rastlantının Geometrisi. Jacques Bernoullinin ölümünden sonra yayımlana yapıtı Ars Conjectandi (1713), Huygensin bir inceleme yazısını (De Ratiociniis in Ludo Aleae, 1657) genelleştirerek, gelişimin başlangıcını bir matematik bilim koluna doğru yöneltiyor: Devşirim hesabını sistemleştiriyor, onu rastlantı oyunlarına uyguluyor ve esaslı yenilikler getiriyordu. Bu çalışmalara koşut olarak, A. de Moivre, Laplaceyi pek etkileyecek son derece de sağlıklı, çok sayıda baskı yapan bir inceleme kitabını İngiltere de yayımladı (Doctrine of Chances 1718). Moivre, olasılığı ve matematik beklentiyi, bağımsız ve koşullu bağıllıkları tanımlıyor ve toplama ile çarpma kurallarını kuruyordu. Çok sayıdaki doğal olayların, bağımsız rastlantısal değişkenin toplamı olarak göz önüne alınabildiği ölçüde, bu yasanın temel bir önemi bulunmaktadır.

Birinci dereceden bir
bilinmeyenli denklemler

ve a 0 olmak üzere ax +b=0 şeklindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x sayısına denklemin kökü, bu kökün oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir.

ax+b=0 ise sayısı denklemin köküdür.

Çözüm kümesi:

Ç= olur.

Örnekler:

1) 6x +12 =0 denkemini çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

 6x= -12Þ6x+12=0
x= x=-2 Ç= olur.
2)-5x + 6 + x = 1 –x + 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

-5x+ 6+ x =1 –x +8
-4x + 6 = -x + 9
-4x +x = 9-6
-3x=3
x= -1 Ç=
3) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çöm: denklemde paydası eşitlenir:



4) x-{2x-[x+1-(3x-5)]} = 3 ise x kaçtır?
Çözüm:

[x+1-3x+5]
[-2x+6]
{2x+2x-6}
x-4x+6 = 3
-3x  x= 1 Sonuç: 1à=

5) 9(1-2x) – 5(2-5x) = 20 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:

9(1-2x) – 5(2-5x) = 20
9-18x-10+25x = 20
7x-1= 20
7x = 21
x = 3
Sonuç: 3

6) x 2 x 1
----- + ----- = ----- + 1----- denkleminin çözüm kümesi nedir?
3 5 5 3

Çözüm:
x 2 x 4
----- + ----- = ----- + -----
3 5 5 3
(5) (3) (3) (5)

5x+6 3x+20
------- = ------- = 5x + 6 = 3x+20
15 15

 x = 7Þ2x = 14  Sonuç: 7


7) Kendisine katı eklendiğinde 72 eden sayı kaçtır?

Çözüm:


=
8) 2x+5=1 ise “x” kaçtır?

Çözüm:
2x = -4
 Sonuç = {-2}Þx = -2

9) Toplamları 77 olan iki sayıdan birinin 3 katı, aynı sayının 4 katıyla toplamına eşittir.Bu Sayıların Küçük Olanı Kaçtır?

Çözüm:

3x+4x = 77
7x = 77
x = 7
3x = 33 Sonuç = {33}

10) Bu denklemdeki x’ in değerini bulunuz.
Çözüm:





x = 5 Sonuç = {5}

11) “x” in değerini bulunuz.
Çözüm:




- 45 = 5x-35
5x = -10
x = -2

Sonuç = {-2}

12) “x” in değerini bulunuz.

Çözüm:


3x-5 = -20
3x = -15
x = -5 Sonuç = {-5}

13) denklemini ve koşuluyla x’i bulunuz.
Çözüm
ÞÞÞ
x=-1 fakat (x 1 ve x koşulundan dolayı

Ç=Ǿdir

14) için x ’in değeri kaçtır?
Çözüm
 x=3 (x 3 koşulundan dolayıÞÞÞ )

Ç=Ǿdir


Birinci Dereceden İki
Bilinmeyenli Denklemler

olmak üzere açık önermesine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
denkleminde x ’e verilebilecek her değer için bir y değeri bulunabilir. Bulunan (x,y) ikililerinden her birine denklemin bir çözümü denir. Çözüm kümesi sonsuz elamanlıdır.

Örnekler:

1) denklemini çözüm kümesini bulup düzlemde göster.

(0,-1)Þx=0 için y=2.0-1
x=1 için (1,1)Þy=2.1-1
(2,3)Þx=2 için y=2.2-1
(3,5)Þx=3 için y=2.3-1
x için (y 2x –1)Þy=2x-1

 

İntegral veya Tümlev, en genel anlamıyla bir gönderme (fonksiyon) eğrisinin altında kalan alanı anlatır ya da başka bir deyişle göndermenin türevinin tersi olan bir gönderme elde edilmesini sağlar.

İntegral, verilen bir f(x) göndermesini türev kabul eden F(x) fonksiyonunun bulunması olarak yapılabilir. F(x) göndermesine f(x) göndermesinin integrali veya ilkeli denir. İntegral, toplam kelimesinin (sum) baş harfi s'nin biraz evrim geçirmiş hali olan ∫ işareti ile gösterilir. Bu gösterim Leibniz tarafından tanımlanmıştır.

C bir sabiti gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.

Bir eksen takımında gösterilen f(x) göndermesinin altında kalan a < x < b aralığındaki alan, integral yardımıyla hesaplanabilir. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere bölünerek, bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki alan, alanın değerine yaklaşır ve integralin tam değeri bulunmuş olur. Bu toplama Riemann toplamı denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı Riemann toplamındaki bölüntü sayısı olan n nin bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.

Bu şekildeki integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için, belirli İntegral olarak isimlendirilir. Sınırlar göz önüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı durumlarda f(x) göndermesinin integrali F(x) bulunamaz. Bu durumda belirli integral sayısal olarak hesaplanır.

Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır. Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda katlı integraller ortaya çıkar.

Riemann'dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla Lebesgue integrali geliştirilmiştir.

wikipedia